Để chứng minh rằng tam giác AHB bằng tam giác AHC và AH là tia phân giác của góc BAC, chúng ta sẽ tiến hành theo các bước sau:

1. **Gọi các điểm**:
- Gọi B và C là hai điểm trên đoạn thẳng BC.
- Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC, tức là BH = HC.
- Qua H, kéo đường thẳng d vuông góc với BC.
- Trên đường thẳng d, lấy điểm A.

2. **Chứng minh tính đối xứng**:
- Xét hai tam giác AHB và AHC.
- Chúng ta có:
- AH chung cho cả hai tam giác.
- BH = HC (do H là trung điểm của BC).
- Góc AHB = Góc AHC = 90 độ (do d vuông góc với BC).
- Theo tiêu chuẩn của tam giác đồng dạng (cạnh-góc-cạnh), ta có:
\[
\triangle AHB \cong \triangle AHC
\]

3. **Lập luận về tia phân giác**:
- Từ các tam giác AHB và AHC đã chứng minh, hai tam giác này bằng nhau nên:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{HB}{HC}
\]
- Vì H là trung điểm của đoạn thẳng BC nên HB = HC. Do đó, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = 1
\]
- Điều này chỉ ra rằng AB = AC, tức là A nằm trên tia phân giác của góc BAC.

**Kết luận**: Tam giác AHB bằng tam giác AHC và AH là tia phân giác của góc BAC.