Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

**1. Chứng minh rằng đường thẳng a và đường thẳng d vuông góc với nhau.**

- Ta có \( \angle BAD = 100^\circ \) và \( \angle ABC = 80^\circ \).
- Do đó, \( \angle DAB \) có thể tính như sau:
\[
\angle DAB = 180^\circ - \angle BAD - \angle ABC = 180^\circ - 100^\circ - 80^\circ = 0^\circ.
\]
- Điều này chứng minh rằng đường thẳng a và đường thẳng d vuông góc với nhau.

**2. Xem xét các tia Ax, By, Cz có nằm trên các đường thẳng song song với nhau không?**

- Dựa vào các góc đã cho, thấy rằng \( \angle ABC + \angle DAB = 180^\circ \) chứng tỏ rằng các đoạn thẳng AB và CD song song.
- Do vậy, các tia Ax, By, và Cz sẽ không nằm trên đường thẳng song song.

**3. Đối với góc tại điểm O, lấy điểm D, Vẽ ra ngoài mOn:**

- Chú ý rằng \( \angle OCx = 55^\circ \) và \( \angle ODy = 35^\circ \).
- Ta có:
\[
\angle COy = 180^\circ - \angle OCx - \angle ODy = 180^\circ - 55^\circ - 35^\circ = 90^\circ.
\]
- Từ đó, ta có thể chứng minh rằng các tia Cx và Dy là vuông góc với nhau.

**4. Tính số đo của mOn:**

- Có \( \angle mOn = \angle OCx + \angle ODy = 55^\circ + 35^\circ = 90^\circ \).

Như vậy, các phần trong bài toán đã được chứng minh và tính toán chi tiết. Nếu cần giải thích thêm về từng bước, bạn có thể hỏi thêm!