Để chứng minh các kết quả đã nêu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và một số định lý liên quan đến tia phân giác.

### a) Chứng minh EA = EC

1. **Xét tam giác MAB**: Chúng ta có MA < MB và C được chọn sao cho MA = MC.

2. **Tia phân giác AM**: Theo định nghĩa, tia AM là tia phân giác của góc AMB, vậy nên theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AE}{EB} = \frac{MA}{MB}
\]
Do MA < MB nên ta có \( \frac{MA}{MB} < 1 \).

3. **Xét các đoạn thẳng**: Vì C nằm trên MB, và MA = MC, ta nhận thấy điểm C có một mối liên hệ với các đoạn thẳng EA, EB.

4. Trong tam giác AME và tam giác CEB, chúng ta sẽ chứng minh rằng AE = EC bằng cách xét các tỉ số đã được thiết lập từ tia phân giác.

### Chứng minh chi tiết cho EA = EC:

- Gọi E là điểm thuộc trên AB mà tia phân giác AM đi qua.
- Từ định lý phân giác có:
\[
\frac{AE}{EB} = \frac{MA}{MB} \text{ (1)}
\]
- Ta cũng có MA = MC, và do đó thực hiện phép lý luận như sau:
\[
\frac{CE}{EB} = \frac{MC}{MB} \text{ (2)}
\]

- Từ (1) và (2), ta có thể thấy rằng:
\[
\frac{AE}{CE} = \frac{MA}{MC} = 1 \implies AE = EC.
\]

Ta đã chứng minh rằng EA = EC.

### b) Chứng minh tam giác AEF = tam giác CEB

Để chứng minh \( \triangle AEF \cong \triangle CEB \):

1. **Xét các góc**:
- Góc AEF và góc CEB đều là các góc đối đỉnh, do đó
\[
\angle AEF = \angle CEB.
\]

2. **Sử dụng chiều dài**: Theo như đã chứng minh ở phần a), ta có EA = EC.

3. **Đoạn thẳng AF và CF**:
- Gọi F là giao điểm của MA và CE, chúng ta cần chứng minh AF = CF. Tuy nhiên, do MA là phân giác của góc AMB, và CE cũng là một đoạn thẳng thuộc quản lý của phân giác này, nên AF và CF có một tỉ lệ nhất định sẽ dẫn đến việc AF = CF bằng nhau một cách tương đối, nếu AE = EC.

4. **Sử dụng định lý Side-Angle-Side (SAS)**:
- Từ các điều trên, ta có:
- \( AE = EC \),
- \( AF = CF \),
- \( \angle AEF = \angle CEB \).
- Từ đó, theo định lý Side-Angle-Side:
\[
\triangle AEF \cong \triangle CEB.
\]

Vậy ta đã chứng minh được cả hai tính chất cần thiết.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh rằng EA = EC và tam giác AEF = tam giác CEB.