Để giải bài toán này, ta cần phân tích điều kiện mà điểm M phải thỏa mãn.

1. **Góc A** là góc của đường tròn lượng giác.
2. Điểm M cần thỏa mãn điều kiện: \( s \cdot AM = 45^\circ + k \cdot 180^\circ \), với \( k \in \mathbb{Z} \).

Điều này có nghĩa là độ dài cung AM trên đường tròn là một số bội của 180° cộng thêm 45°.

3. **Xác định số điểm M**:

- Trong trường hợp này, trên một đường tròn 360°, các giá trị của \( AM \) sẽ lặp lại mỗi khi \( k \) thay đổi. Do đó, ta cần tìm số lượng điểm thỏa mãn trong khoảng từ 0° đến 360°.

4. **Giải phương trình**:
- Với \( k = 0 \): \( AM = 45^\circ \)
- Với \( k = 1 \): \( AM = 225^\circ \)
- Với \( k = -1 \): \( AM = -135^\circ \) (không thỏa mãn, ra ngoài khoảng [0°, 360°])
- Với các giá trị khác của \( k \), sẽ không tồn tại thêm giá trị mới nằm trong khoảng [0°, 360°].

5. Từ đó, ta có hai điểm thỏa mãn: \( 45^\circ \) và \( 225^\circ \).

Kết luận: **Có 2 điểm M thỏa mãn điều kiện trên.**