Để chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương \( n \), tồn tại vô số số nguyên dương \( a \) sao cho \( p = n^4 + a \) là số nguyên tố, chúng ta sẽ sử dụng một số kết quả từ lý thuyết số và một số phép tính đơn giản.

**Bước 1: Xác định biểu thức**
Cho số nguyên dương \( n \), ta có thể viết
\[
p = n^4 + a
\]
với \( a \) là số nguyên dương. Chúng ta muốn tìm các giá trị của \( a \) sao cho \( p \) là số nguyên tố.

**Bước 2: Tính mô-đun**
Ta xem xét các giá trị của \( n^4 \). Một điểm đáng chú ý là các số nguyên tố lớn hơn 2 là số lẻ, do đó \( n^4 \) sẽ có tính chất cụ thể về tính chẵn lẻ:
- Nếu \( n \) là số chẵn thì \( n^4 \) là số chẵn.
- Nếu \( n \) là số lẻ thì \( n^4 \) là số lẻ.

**Bước 3: Xét từng trường hợp**
1. **Trường hợp \( n \) là số chẵn (cụ thể là \( n = 2k \))**
Khi đó, \( n^4 \) sẽ chẵn, và ta có:
\[
p = n^4 + a = \text{chẵn} + a
\]
Để \( p \) là số nguyên tố, điều kiện là \( a \) phải là số lẻ (vì chỉ có số 2 là số nguyên tố chẵn và không phù hợp với trường hợp này). Do đó, có vô số số lẻ (chẳng hạn như \( 1, 3, 5, \ldots \)) cho \( a \) sao cho \( p \) là số nguyên tố.

2. **Trường hợp \( n \) là số lẻ (cụ thể là \( n = 2k + 1 \))**
Khi đó, \( n^4 \) là số lẻ, và ta có:
\[
p = n^4 + a = \text{lẻ} + a
\]
Để \( p \) là số nguyên tố, \( a \) cần là số chẵn. Cũng như trước, chúng ta có vô số số chẵn (ví dụ: \( 2, 4, 6, \ldots \)) cho \( a \), và chúng ta có thể chọn sao cho \( p \) là số nguyên tố.

**Bước 4: Kết luận**
Do đó, đối với mỗi số nguyên dương \( n \), ta có thể tìm được các số nguyên dương \( a \) sao cho \( p = n^4 + a \) là số nguyên tố. Như vậy, tồn tại vô số số nguyên dương \( a \) thỏa mãn điều kiện. Điều này cho phép chúng ta khẳng định rằng:

\[
\text{Tồn tại vô số số nguyên dương } a \text{ sao cho } p = n^4 + a \text{ là số nguyên tố với mỗi } n thể hiện rõ}
\]

Tất cả các trường hợp trên đều cho phép ta rút ra kết luận mà không cần đến bất kỳ điều kiện bổ sung nào, đủ để chứng minh cho ý tưởng trên.