Để tìm giá trị \( n \in \mathbb{N} \) cho điều kiện \( 2n + 3 \) chia hết cho \( 4n + 1 \), ta cần giải bất phương trình sau:

\[ 2n + 3 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 4n + 1) \]

Điều này có thể được viết lại như sau:

\[
2n + 3 = k(4n + 1)
\]

với \( k \) là một số nguyên dương.

Phân tích phương trình trên:

\[
2n + 3 = 4kn + k
\]

Đưa các hạng tử chứa \( n \) về một bên:

\[
2n - 4kn = k - 3
\]

\[
n(2 - 4k) = k - 3
\]

Từ đó ta có:

\[
n = \frac{k - 3}{2 - 4k}
\]

Để \( n \) là một số tự nhiên, \( k - 3 \) phải chia hết cho \( 2 - 4k \) và \( 2 - 4k \) cũng phải âm với \( k - 3 \).

Ta thử các giá trị nguyên dương cho \( k \):

1. Khi \( k = 1 \):
\[
n = \frac{1 - 3}{2 - 4 \cdot 1} = \frac{-2}{-2} = 1
\]

2. Khi \( k = 2 \):
\[
n = \frac{2 - 3}{2 - 4 \cdot 2} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} \quad (\text{không hợp lệ})
\]

3. Khi \( k = 3 \):
\[
n = \frac{3 - 3}{2 - 4 \cdot 3} = \frac{0}{-10} = 0 \quad (0 \notin \mathbb{N})
\]

Ta thấy chỉ có \( n = 1 \) hợp lệ.

Vậy giá trị \( n \) mà bạn cần tìm là:

\[
\boxed{1}
\]