Chúng ta sẽ giải quyết đề bài theo từng phần như sau:

### a) Chứng minh \( AH = ED \)

1. **Ký hiệu và định nghĩa**:
- Gọi \( A \) là đỉnh của tam giác vuông tại \( A \).
- Gọi \( B \), \( C \) là hai điểm còn lại của tam giác, với \( AB \) là một cạnh kề và \( AC \) là cạnh huyền.
- Gọi \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống cạnh huyền \( BC \).
- Gọi \( D \) và \( E \) lần lượt là hình chiếu của \( H \) lên \( AB \).

2. **Tính chất của hình chiếu**:
- Bởi vì \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- Hình chiếu \( D \) của \( H \) lên \( AB \) có nghĩa là \( HD \) vuông góc với \( AB \).
- Tương tự, hình chiếu \( E \) cũng vuông góc với \( AB \).

3. **Vuông góc và chiều dài**:
- Ta có tam giác \( AHD \) vuông tại \( H \) và tam giác \( AHE \) vuông tại \( H \).
- Do đó, chiều cao từ \( H \) tới \( AB \) là khoảng cách từ \( H \) tới đường thẳng \( AB \).
- Vậy, chiều dài \( AH \) chính là chiều cao từ \( H \) xuống cạnh \( AB \), do đó \( AH = ED \).

### b) Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( BC \)

1. **Kẻ đường thẳng vuông góc**:
- Qua điểm \( A \), bạn kẻ đường thẳng \( AI \) vuông góc với đường thẳng \( DE \). Khi đó, điểm \( I \) là giao điểm của đường thẳng \( AI \) với cạnh \( BC \).

2. **Xét các tam giác**:
- Ta xét hai tam giác \( AHD \) và \( AHE \). Do \( D \) và \( E \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \), nên \( AH \) là đường cao của cả hai tam giác này.
- Bởi tính chất của tam giác vuông tại \( H \), chúng ta có:
- \( AD + DE + EH = AB \) (độ dài đoạn thẳng).

3. **Sử dụng tính chất đối xứng**:
- Dễ thấy rằng \( A \) cũng là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \) trong tam giác vuông. Do đường thẳng \( AI \) là đường phân giác và song song với đoạn \( DE \), và \( D \) và \( E \) đã là các điểm chiếu từ \( H \), điều này ảnh hưởng đến đối xứng của tam giác với trung điểm \( I \).

4. **Kết luận**:
- Do đó, từ những suy luận và tính chất đã chỉ ra, điểm \( I \) chính là trung điểm của \( BC \).

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành bài toán. Nếu có điều gì cần làm rõ hơn, bạn cứ hỏi nhé!