Để chứng minh rằng \( A < 100 \) với \( A = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{100} - \frac{1}{2^{100} - 1} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính giá trị tổng \( A \)**:
Tổng \( A \) bao gồm các phần tử dạng \( \frac{1}{n} \) cho \( n = 1, 2, \ldots, 100 \) và trừ một phần rất nhỏ \( \frac{1}{2^{100} - 1} \).

2. **Đánh giá tổng \( S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} \)**:
Tổng này có thể được ước lượng bằng bất đẳng thức sau:
\[
S_n < \ln(n) + 1
\]
Đối với \( n = 100 \):
\[
S_{100} < \ln(100) + 1
\]
Tính giá trị \( \ln(100) \):
\[
\ln(100) = 4.605 \implies S_{100} < 4.605 + 1 = 5.605
\]

3. **Tính \( \frac{1}{2^{100} - 1} \)**:
Phần này rất nhỏ, do \( 2^{100} \) là một số rất lớn:
\[
2^{100} \approx 1.26 \times 10^{30} \implies \frac{1}{2^{100} - 1} < \frac{1}{10^{30}} \text{ (hệ số này rất nhỏ)}
\]

4. **Kết hợp lại**:
Dễ dàng nhận thấy:
\[
A = S_{100} - \frac{1}{2^{100} - 1} < 5.605 - \text{(một số rất nhỏ)}
\]
Suy ra \( A < 5.605 \).

5. **Kết luận**:
Vì \( 5.605 < 100 \), ta có \( A < 100 \).

Vậy, chứng minh rằng \( A < 100 \) là đúng.