Để chứng minh rằng N là trung điểm của MP trong hình thang cân ABCD, biến cách mà chúng ta có thể áp dụng là sử dụng các tính chất hình học của hình thang và các tứ giác.

1. **Thiết lập tọa độ:**
- Chọn hệ tọa độ sao cho điểm D nằm tại (0, 0) và điểm C nằm tại (a, 0).
- Vì AB // CD và AB < CD, điểm A có tọa độ (b, h) và điểm B có tọa độ (c, h), trong đó \(0 < b < c < a\) và \(h > 0\).

2. **Tính tọa độ của M, H:**
- Điểm M là trung điểm của AD, nên tọa độ của M là:
\[
M = \left(\frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]
- H là hình chiếu vuông góc của A lên CD, tức là H có tọa độ (b, 0).

3. **Xét đường thẳng qua M song song với BH:**
- Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua M và song song với BH, trước tiên chúng ta cần tính độ dốc của đoạn thẳng BH. Đoạn thẳng BH có độ dốc:
\[
\text{slope of BH} = \frac{h - 0}{c - b} = \frac{h}{c - b}
\]
- Do đó, độ dốc của đường thẳng đi qua M (MG) song song với BH cũng là \(\frac{h}{c - b}\).

4. **Tìm phương trình đường thẳng MG:**
- Phương trình của đường thẳng MG là:
\[
y - \frac{h}{2} = \frac{h}{c - b}\left(x - \frac{b}{2}\right)
\]

5. **Tìm giao điểm N với AB:**
- Giao điểm N của MG với AB (có phương trình y = h):
\[
h - \frac{h}{2} = \frac{h}{c - b}\left(x - \frac{b}{2}\right)
\]
- Giải phương trình trên để tìm tọa độ x của N.

6. **Tìm giao điểm P với BC:**
- Đường thẳng BC có dạng y = -\frac{h}{c-a}(x-a) + h. Giao điểm của MG với BC sẽ là điểm P, lúc này bạn cũng lập phương trình cho đường thẳng MG và BC để tìm giao điểm P.

7. **Chứng minh N là trung điểm của MP:**
- Để chứng minh N là trung điểm MP, bạn cần xác định tọa độ của N và P, sau đó kiểm tra xem:
\[
N_x = \frac{M_x + P_x}{2}, \quad N_y = \frac{M_y + P_y}{2}
\]
- Nếu điều này đúng thì ta có N là trung điểm của MP.

Kết luận: Với cách thiết lập tọa độ và sử dụng tính chất hình học của hình thang, ta có thể chứng minh rằng N thực sự là trung điểm của MP.