Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là \(x\,\,\left( {km/h,0 < y < x} \right)\)

Vận tốc của dòng nước là \(y\,\,\left( {km/h,0 < y < x} \right)\)

Vận tốc ca nô ngược dòng là: \(x - y\,\,\left( {km/h} \right)\);

Thời gian ca nô ngược dòng là: \(\frac\) (giờ);

Vận tốc ca nô xuôi dòng là: \(x + y\,\,\left( {km/h} \right)\);

Thời gian ca nô ngược dòng là: \(\frac\) (giờ)

Do thời gian ca nô ngược dòng và ca nô ngược dòng là 9 giờ nên ta có phương trình:

\(\frac + \frac = 9\) (1)

Do thời gian ca nô đi xuôi dòng 5km bằng thời gian ca nô đi ngược dòng 4km nên ta có phương trình: \(\frac{5} = \frac{4}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac + \frac = 9\\\frac{5} = \frac{4}\end{array} \right.\)

Từ phương trình (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{5} = \frac{4}\\5\left( {x - y} \right) = 4\left( {x + y} \right)\\5x - 5y = 4x + 4y\\5x - 5y - 4x - 4y = 0\\x - 9y = 0\\x = 9y\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ phương trình (1), ta có:

\(\begin{array}{l}\frac + \frac = 9\\\frac{{160\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{160\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = \frac{{9\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\160\left( {x + y} \right) + 160\left( {x - y} \right) = 9\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\\160x + 160y + 160x - 160y - 9{x^2} + 9{y^2} = 0\\ - 9{x^2} + 9{y^2} + 320x = 0\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)

Thay (3) vào (4) ta được: \( - 9.{\left( {9y} \right)^2} + 9{y^2} + 320.\left( {9y} \right) = 0\) (5)

Giải phương trình (5):

\(\begin{array}{l} - 9.{\left( {9y} \right)^2} + 9{y^2} + 320.\left( {9y} \right) = 0\\ - 729{y^2} + 9{y^2} + 2880y = 0\\ - 720{y^2} + 2880y = 0\\720y\left( {y - 4} \right) = 0\end{array}\)

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình:

*) \(720y = 0\)

\(y = 0\);

*)\(y - 4 = 0\)

\(y = 4\).

Ta thấy

+ \(y = 0\) không thỏa mãn điều kiện của bài

+ \(y = 4\) thỏa mãn điều kiện của bài.

Thay \(y = 4\) vào phương trình (3), ta được \(x = 9.4 = 36\).

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 36 (km/h)

Vận tốc của dòng nước là 4 (km/h).