Để rút gọn các biểu thức đã cho, chúng ta sẽ thực hiện theo từng phần:

### A.
\[
A = \frac{\cos a + 2\cos 2a + \cos 3a}{\sin a + \sin 2a + \sin 3a}
\]

- Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi. Ví dụ, có thể sử dụng công thức tổng hợp cho các cos và sin để tiếp cận.

### B.
\[
B = \frac{\cos(a + \frac{\pi}{3}) + \cos(a - \frac{\pi}{3})}{\cot \frac{a}{2}}
\]

- Sử dụng công thức cos tổng, cos hiệu và cotang để biến đổi biểu thức.

### C.
\[
C = \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}
\]

- Sử dụng công thức tổng hợp cho sin và cos để rút gọn.

### D.
\[
D = \frac{\sin(a-b)}{\sin(c-a) \cos a} + \frac{\sin(b-c)}{\cos b} + \frac{\sin(c-a)}{\cos c}
\]

- Ứng dụng công thức sin để biến đổi từng phần và sau đó kết hợp các phần lại với nhau.

### Lưu ý:
Các công thức lượng giác cơ bản có thể sử dụng cho việc rút gọn bao gồm:
- \( \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \)
- \( \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B \)
- Các mối quan hệ giữa cotang, sin và cos.

Hãy thực hiện từng bước một cách cẩn thận và kiểm tra các bước rút gọn sau mỗi bước để đảm bảo rằng biểu thức vẫn chính xác.