Để chứng minh các đẳng thức đã cho, chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

### a) Chứng minh
\[
2 \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos 2\alpha
\]

Sử dụng công thức nhân đôi:
\[
2 \sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)
\]

Ở đây, \( A = \frac{\pi}{4} + \alpha \) và \( B = \frac{\pi}{4} - \alpha \). Tính \( A - B \) và \( A + B \):
- \( A - B = (\frac{\pi}{4} + \alpha) - (\frac{\pi}{4} - \alpha) = 2\alpha \)
- \( A + B = (\frac{\pi}{4} + \alpha) + (\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\pi}{2} \)

Do đó:
\[
2 \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos(2\alpha) - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos(2\alpha)
\]
Vậy đẳng thức a) đúng.

### b) Chứng minh
\[
\sin \alpha (1 + \cos 2\alpha) = \sin 2\alpha \cos \alpha
\]

Sử dụng công thức:
\[
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \quad \text{và} \quad \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1
\]

Thay vào vế trái:
\[
\sin \alpha (1 + \cos 2\alpha) = \sin \alpha (1 + 2 \cos^2 \alpha - 1) = \sin \alpha \cdot 2 \cos^2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha
\]

Vế phải:
\[
\sin 2\alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha
\]

Như vậy, b) cũng đúng.

### c) Chứng minh
\[
\frac{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha} = \tan \alpha
\]

Sử dụng các công thức:
\[
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \quad \text{và} \quad \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha
\]

Hoán đổi vào biểu thức:
- Vế trên: \( 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha - (1 - 2\sin^2 \alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha + 2\sin^2 \alpha = 2\sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) \)
- Vế dưới: \( 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha + (1 - 2\sin^2 \alpha) = 2 + 2\sin \alpha \cos \alpha - 2\sin^2 \alpha = 2(\cos^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha) \)

Chia cho nhau và giản ước, ta sẽ nhận được \( \tan \alpha \). Do đó, c) đúng.

### d) Chứng minh
\[
\tan \alpha - \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{2}{\tan 2\alpha}
\]

Biểu thức bên trái:
\[
\tan \alpha - \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{-\cos 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}
\]

Biểu thức bên phải:
\[
-\frac{2}{\tan 2\alpha} = -\frac{2\cos \alpha \sin \alpha}{\sin 2\alpha} = -\frac{2\cos \alpha \sin \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = -1
\]

Rõ ràng là hai vế bằng nhau, do đó d) cũng đúng.

Tóm lại, tất cả bốn đẳng thức đều đã được chứng minh.