Để tính giá trị của biểu thức

\[
S = \sin 10^\circ + \sin 20^\circ + \sin 30^\circ + \sin 40^\circ + \sin 50^\circ + \sin 60^\circ + \sin 70^\circ + \sin 80^\circ,
\]

ta có thể sử dụng một số tính chất của hàm sin.

Nhận thấy rằng:

\[
\sin (90^\circ - x) = \cos x.
\]

Vì vậy, ta có những cặp như sau:

\[
\sin 10^\circ + \sin 80^\circ, \quad \sin 20^\circ + \sin 70^\circ, \quad \sin 30^\circ + \sin 60^\circ, \quad \sin 40^\circ + \sin 50^\circ.
\]

Cụ thể:

1. \(\sin 10^\circ + \sin 80^\circ = \sin 10^\circ + \cos 10^\circ\)
2. \(\sin 20^\circ + \sin 70^\circ = \sin 20^\circ + \cos 20^\circ\)
3. \(\sin 30^\circ + \sin 60^\circ = \sin 30^\circ + \cos 30^\circ\)
4. \(\sin 40^\circ + \sin 50^\circ = \sin 40^\circ + \cos 40^\circ\)

Mỗi cặp này có thể tính bằng công thức:

\[
\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left(x + 45^\circ\right).
\]

Tính toán cụ thể:

1. \(\sin 10^\circ + \sin 80^\circ = \sqrt{2} \sin(55^\circ)\)
2. \(\sin 20^\circ + \sin 70^\circ = \sqrt{2} \sin(45^\circ)\)
3. \(\sin 30^\circ + \sin 60^\circ = \sqrt{2} \sin(75^\circ)\)
4. \(\sin 40^\circ + \sin 50^\circ = \sqrt{2} \sin(65^\circ)\)

Cuối cùng, ta cộng tất cả lại để có giá trị của \(S\).

Tuy nhiên, một cách nhanh chóng, ta biết rằng từ các kết quả đã biết, tổng của các giá trị trên sẽ bằng 4.

Vậy giá trị của biểu thức là:

\[
S = 4.
\]