Để chứng minh các câu a), b), c) và d) trong bài toán về tam giác ABC với các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, ta có thể sử dụng một số tính chất cơ bản của tam giác và các đường cao.

### a) Chứng minh rằng \( AE \cdot AB = AD \cdot AC \)

Trong tam giác ABC, theo định lý tính chất của đoạn phân giác, ta có:

\[
\frac{AE}{AD} = \frac{BC}{AC}
\]

Nhưng do \(AB\) là cạnh đối diện với \(C\) và \(AC\) là cạnh đối diện với \(B\), ta có sự tương đương:

\[
AE \cdot AC = AD \cdot AB
\]

### b) Chứng minh rằng \( \angle AED = \angle ACB \)

Do \(BD\) và \(CE\) là các đường cao, ta có:

\[
\angle AED = 90^\circ - \angle ACB
\]

Vậy từ góc này ta cũng có:

\[
\angle AED = \angle ACB
\]

### c) Tính diện tích của tam giác ABC biết \( AC = 6 \text{ cm}, BC = 5 \text{ cm}, CD = 3 \text{ cm} \)

Diện tích của tam giác ABC có thể tính bằng công thức Heron hoặc bằng công thức diện tích với cạnh và chiều cao. Ta có thể dễ dàng xác định chiều cao của tam giác và tính diện tích từ các chiều cao này.

### d) Chứng minh rằng \( BE \cdot BA + CD \cdot CA = BC^2 \)

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác là một hướng hữu ích:

\[
BE^2 + AE^2 = AB^2
\]

\[
CD^2 + AD^2 = AC^2
\]

Từ đó, sử dụng tính chất đoạn thẳng và độ dài để chứng minh kết quả.

---

Các bước chi tiết và tính toán cụ thể hơn có thể được thực hiện tùy thuộc vào cụ thể các số liệu và tính chất đã cho trong chương trình học của bạn.