Để tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức \(10x^2 + 15x + 7\), chúng ta có thể sử dụng công thức tìm giá trị nhỏ nhất của một đa thức bậc 2 dạng tổng quát \(ax^2 + bx + c\).

Trên thực tế, giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của đa thức bậc 2 xảy ra tại đỉnh của parabol. Đỉnh của parabol được tính bằng công thức:
\[
x = -\frac{b}{2a}
\]
Trong trường hợp này, \(a = 10\), \(b = 15\), và \(c = 7\).

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các giá trị vào công thức:
\[
x = -\frac{15}{2 \cdot 10} = -\frac{15}{20} = -\frac{3}{4}
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ thay giá trị \(x = -\frac{3}{4}\) vào đa thức để tìm giá trị nhỏ nhất:
\[
10\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 15\left(-\frac{3}{4}\right) + 7
\]
\[
= 10 \cdot \frac{9}{16} - \frac{45}{4} + 7
\]
\[
= \frac{90}{16} - \frac{180}{16} + \frac{112}{16}
\]
\[
= \frac{90 - 180 + 112}{16}
\]
\[
= \frac{22}{16} = \frac{11}{8}
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của đa thức \(10x^2 + 15x + 7\) là \(\frac{11}{8}\).