Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;3) B(3;−1). Viết phương trình đường thẳng đi qua 4 sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng đó bằng 2

Để tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A(1, 3)\) sao cho khoảng cách từ điểm \(B(3, -1)\) đến đường thẳng đó bằng 2, ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Đặt phương trình đường thẳng**: Ta giả sử phương trình đường thẳng là:
\[
y - 3 = k(x - 1)
\]
trong đó \(k\) là hệ số góc của đường thẳng.

Ta có thể viết lại phương trình này thành dạng tổng quát hơn:
\[
y = kx - k + 3
\]
hoặc:
\[
kx - y + (3 - k) = 0
\]

2. **Tính khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng**: Khoảng cách \(d\) từ một điểm \(P(x_0, y_0)\) đến đường thẳng \(Ax + By + C = 0\) được tính bằng công thức:
\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

Ở đây, chúng ta có:
- \(A = k\)
- \(B = -1\)
- \(C = 3 - k\)
- Điểm \(B(3, -1)\) có tọa độ \(x_0 = 3\) và \(y_0 = -1\).
- Khoảng cách mà ta cần là \(d = 2\).

3. **Thay vào công thức khoảng cách**:
\[
2 = \frac{|k \cdot 3 - 1 - (3 - k)|}{\sqrt{k^2 + 1}}
\]

4. **Giải phương trình**:
\[
2\sqrt{k^2 + 1} = |3k - 1 - 3 + k| = |4k - 4| = 4|k - 1|
\]
Chia hai vế cho 4:
\[
\frac{\sqrt{k^2 + 1}}{2} = |k - 1|
\]

Bây giờ xem xét hai trường hợp trong giá trị tuyệt đối.

- **Trường hợp 1**: \(k - 1 \geq 0 \) (tức là \(k \geq 1\)):
\[
\frac{\sqrt{k^2 + 1}}{2} = k - 1
\]
Bình phương hai vế:
\[
k^2 + 1 = 4(k - 1)^2
\]
Giải bất phương trình:
\[
k^2 + 1 = 4(k^2 - 2k + 1) \implies k^2 + 1 = 4k^2 - 8k + 4
\]
\[
0 = 3k^2 - 8k + 3 \implies 3k^2 - 8k + 3 = 0
\]
Tính discriminant:
\[
D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 - 36 = 28
\]
Giải phương trình bậc 2:
\[
k = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}
\]

- **Trường hợp 2**: \(k - 1 < 0 \) (tức là \(k < 1\)):
\[
\frac{\sqrt{k^2 + 1}}{2} = - (k - 1) \implies \frac{\sqrt{k^2 + 1}}{2} = 1 - k
\]
Tương tự như trên, bình phương hai vế và giải.

5. **Kết luận**: Tìm được các giá trị \(k\) từ cả hai trường hợp và thay vào biểu thức phương trình đường thẳng để hoàn thiện đáp án.

Kết quả hai giá trị của \(k\) là các giá trị có thể dẫn đến các phương trình đường thẳng khác nhau đi qua điểm A sao cho khoảng cách đến B bằng 2.

Cuối cùng, bạn có thể chọn một trong nhưng đường thẳng đó làm đáp án.