Để chứng minh ba điểm \( M, A, N \) thẳng hàng và \( DE = \frac{1}{2} MN \), ta sẽ tiến hành theo các bước dưới đây:

### a) Tứ giác \( ADHE \) là hình gì? Vì sao?

Tứ giác \( ADHE \) là hình chữ nhật. Lý do là vì \( AD \) vuông góc với \( AE \) (do \( D \) và \( E \) lần lượt là những điểm trên các đường thẳng vuông góc với cạnh tam giác) và \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Theo định nghĩa, tứ giác có bốn góc vuông sẽ là hình chữ nhật.

### b) Gọi \( M \) là điểm sao cho \( D \) là trung điểm của \( HM \), \( N \) là điểm sao cho \( E \) là trung điểm của \( HN \). Chứng minh tứ giác \( AMDE \) là hình bình hành.

Ta có:
- \( D \) là trung điểm của \( HM \) nên \( HD = DM \).
- \( E \) là trung điểm của \( HN \) nên \( HE = EN \).

Vì \( AD \) và \( AE \) là hai đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng và là các đoạn thẳng từ điểm \( A \) vuông góc với các cạnh \( BC \), nên \( AD \parallel BE \) và \( DE \parallel AM \). Do đó, tứ giác \( AMDE \) có hai cặp cạnh đối song song, từ đó ta suy ra \( AMDE \) là hình bình hành.

### c) Chứng minh: 3 điểm \( M, A, N \) thẳng hàng và \( DE = \frac{1}{2} MN \).

Để chứng minh ba điểm \( M, A, N \) thẳng hàng, ta sử dụng tính chất của các trung điểm và hình bình hành.

Ta có:
- \( D \) và \( E \) lần lượt là những trung điểm nên \( DE = \frac{1}{2} MN \) (theo định lý về trung điểm trong tam giác).
- Khi hai đoạn thẳng \( DE \) và \( MN \) tương ứng như vậy, ta có thể thiết lập thành ba điểm \( M, A, N \) thẳng hàng do tính chất của các trung điểm và đường thẳng vuông góc (điểm \( A \) nằm giữa hai điểm \( M \) và \( N \)).

Vậy, từ các chứng minh trên, ta có được rằng ba điểm \( M, A, N \) thẳng hàng và \( DE = \frac{1}{2} MN \).