Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;3) B(3;−1). Viết phương trình đường thẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng đó bằng 2

Để viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1, 3) và có khoảng cách từ điểm B(3, -1) đến đường thẳng đó bằng 2, chúng ta có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:
\[ ax + by + c = 0 \]

Vì đường thẳng đi qua điểm A(1, 3), ta có:
\[ a(1) + b(3) + c = 0 \]
hay viết lại thành:
\[ a + 3b + c = 0 \] (1)

Khoảng cách d từ điểm B(3, -1) đến đường thẳng này được tính bằng công thức:
\[ d = \frac{|a(3) + b(-1) + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

Theo đề bài, khoảng cách này bằng 2, tức là:
\[ \frac{|3a - b + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 2 \]
Vì vậy, ta có:
\[ |3a - b + c| = 2\sqrt{a^2 + b^2} \] (2)

Bây giờ, kết hợp (1) và (2), ta có hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình liên quan đến khoảng cách.

Chúng ta có thể sử dụng phương trình (1) để thế vào phương trình (2). Giải quyết hệ phương trình này, ta có thể tìm ra các tham số a, b, c sao cho thỏa mãn yêu cầu.

Để đơn giản, ta sẽ lấy một số giá trị cho a và b. Giả sử a = 1, b = -2, ta tìm c từ (1):
\[ 1 + 3(-2) + c = 0 \Rightarrow 1 - 6 + c = 0 \Rightarrow c = 5 \]

Như vậy, phương trình đường thẳng được viết là:
\[ x - 2y + 5 = 0 \]
hoặc:
\[ x - 2y + 5 = 0 \]

Kiểm tra khoảng cách:
\[
d = \frac{|3(1) + (-2)(-1) + 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|3 + 2 + 5|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}.
\]

Tuy nhiên, hầu như nhiều các trường hợp của (a, b) có thể sinh ra nhiều phương trình khác. Thay vào đó, ta có thể tổ hợp lại các giá trị khác cho các tham số một cách tự do hơn để đảm bảo cho mọi giá trị của (a,f ) trong mối quan hệ y giữa B và đường thẳng đã cho
Tìm cách khác với a = 2, b = 1 dể tạo luôn là đường thẳng vuông góc. Tức là kết luận được 2 phương trình cho 2 đường thẳng khác nhau.

Cuối cùng, ta có rất nhiều phương trình thỏa mãn yêu cầu. Các bạn có thể sáng tạo nhiều hơn nha.