Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
(x+1)(y-1) = (x-2)(y+1) - 1 \\
2(x-2)y - x = 2xy - 3
\end{cases}
\]

**Bước 1: Giải phương trình đầu tiên**

Phương trình đầu tiên là:

\[
(x+1)(y-1) = (x-2)(y+1) - 1
\]

Mở rộng hai vế:

Bên trái:
\[
xy - x + y - 1
\]

Bên phải:
\[
(xy + x - 2y - 2) - 1 = xy + x - 2y - 3
\]

Cân bằng hai vế, ta có:
\[
xy - x + y - 1 = xy + x - 2y - 3
\]

Rút gọn, ta có:
\[
-y + 2y - x - x + 2 = 0 \implies 3y - 2x - 2 = 0 \implies 3y = 2x + 2 \implies y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}
\]

**Bước 2: Thay y vào phương trình thứ hai**

Phương trình thứ hai là:

\[
2(x-2)y - x = 2xy - 3
\]

Thay giá trị \(y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}\):

\[
2(x-2)\left(\frac{2}{3}x + \frac{2}{3}\right) - x = 2x\left(\frac{2}{3}x + \frac{2}{3}\right) - 3
\]

Giải quyết từng phần:

Bên trái:
\[
2\left(\frac{2}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}\right) - x = \frac{4}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{4}{3} - x
\]

Bên phải:
\[
2x\left(\frac{2}{3}x + \frac{2}{3}\right) - 3 = \frac{4}{3}x^2 + \frac{4}{3}x - 3
\]

**Bước 3: Cân bằng và rút gọn cả hai vế**

Cân bằng hai vế lại:
\[
\frac{4}{3}x^2 - x - \frac{8}{3}x + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}x^2 + \frac{4}{3}x - 3
\]

Thay đổi về một phía:
\[
\frac{4}{3}x^2 - (\frac{8}{3} + 4)x + \frac{4}{3} + 3 = 0
\]
Gộp lại:
\[
\frac{4}{3}x^2 - \frac{20}{3}x + \frac{13}{3} = 0 \implies 4x^2 - 20x + 13 = 0
\]

**Bước 4: Giải phương trình bậc 2**

Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \(a = 4\), \(b = -20\), \(c = 13\):
\[
x = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 13}}{2 \cdot 4}
\]
\[
x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 208}}{8} = \frac{20 \pm \sqrt{192}}{8} = \frac{20 \pm 8\sqrt{3}}{8} = \frac{5 \pm 2\sqrt{3}}{2}
\]

**Bước 5: Tìm y tương ứng**

Sử dụng \(y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}\):
\[
y = \frac{2}{3}\left(\frac{5 \pm 2\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{2}{3}
\]
\[
= \frac{5 \pm 2\sqrt{3}}{3} + \frac{2}{3} = \frac{7 \pm 2\sqrt{3}}{3}
\]

**Kết quả**:

Hệ phương trình có hai nghiệm:

\[
\left(x, y\right) = \left(\frac{5 + 2\sqrt{3}}{2}, \frac{7 + 2\sqrt{3}}{3}\right) \quad \text{và} \quad \left(x, y\right) = \left(\frac{5 - 2\sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 2\sqrt{3}}{3}\right)
\]