Để tính giá trị biểu thức \( \frac{15^{2023} \cdot 11^{2024}}{3^{2023} \cdot 55^{2024}} \), ta trước tiên phân tích các thành phần trong biểu thức.

- **Phân tích các số:**
- \( 15 = 3 \cdot 5 \)
- \( 55 = 5 \cdot 11 \)

Do đó, ta có thể viết lại \( 55^{2024} \):
\[
55^{2024} = (5 \cdot 11)^{2024} = 5^{2024} \cdot 11^{2024}
\]

- **Thay vào biểu thức ban đầu:**
\[
\frac{15^{2023} \cdot 11^{2024}}{3^{2023} \cdot 55^{2024}} = \frac{15^{2023} \cdot 11^{2024}}{3^{2023} \cdot (5^{2024} \cdot 11^{2024})}
\]
\[
= \frac{15^{2023}}{3^{2023} \cdot 5^{2024}} = \frac{(3 \cdot 5)^{2023}}{3^{2023} \cdot 5^{2024}}
\]

Ta tiếp tục đơn giản hóa biểu thức:
\[
= \frac{3^{2023} \cdot 5^{2023}}{3^{2023} \cdot 5^{2024}} = \frac{3^{2023}}{3^{2023}} \cdot \frac{5^{2023}}{5^{2024}} = 1 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5}
\]

Vậy, giá trị của biểu thức là:
\[
\frac{1}{5}
\]