Để giải phương trình sau:

\[
5^{x+3} + \frac{5^{x+4}}{6} = \frac{275}{2}
\]

Trước tiên, ta có thể làm đơn giản hóa phương trình này.

1. **Nhân cả hai vế với 6** để loại bỏ mẫu tại vế trái:
\[
6 \cdot 5^{x+3} + 5^{x+4} = 825
\]

2. **Thay đổi \(5^{x+4}\)** thành \(5^{x+3} \cdot 5\):
\[
6 \cdot 5^{x+3} + 5 \cdot 5^{x+3} = 825
\]

3. **Gom nhóm** \(5^{x+3}\):
\[
(6 + 5) \cdot 5^{x+3} = 825
\]
\[
11 \cdot 5^{x+3} = 825
\]

4. **Chia cả hai vế cho 11**:
\[
5^{x+3} = \frac{825}{11} = 75
\]

5. **Giải phương trình với 5**:
\[
5^{x+3} = 75
\]

Để giải được \(x\), ta nhận thấy \(75\) có thể viết lại theo cơ số \(5\):
\[
75 = 5^2 \cdot 3
\]

6. **Lấy logarithm** (có thể dùng bất kỳ cơ số nào):
\[
x + 3 = \log_5(75)
\]
\[
x = \log_5(75) - 3
\]

7. Kết hợp logarit cơ số khác nếu cần để đưa về dạng số.

Như vậy, kết quả cuối cùng cho \(x\) sẽ là:
\[
x = \log_5(75) - 3
\]

Nếu cần giá trị cụ thể, bạn sẽ tính gần đúng \(log_5(75)\) bằng cách sử dụng hệ số chuyển đổi giữa các cơ số logarit.