Tính giá trị biểu thức

Để tính giá trị biểu thức

\[
B = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{1.3}\right) \left(1 + \frac{1}{2.4}\right) \left(1 + \frac{1}{3.5}\right) \ldots \left(1 + \frac{1}{2021 \cdot 2023}\right)
\]

ta sẽ phân tích từng phần trong biểu thức.

Xét một yếu tố tổng quát:

\[
1 + \frac{1}{n(n + 2)} = 1 + \frac{1}{n^2 + 2n} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 2n} = \frac{(n + 1)^2}{n(n + 2)}
\]

Vì vậy, chúng ta có

\[
1 + \frac{1}{n(n + 2)} = \frac{(n + 1)^2}{n(n + 2)}
\]

Thay thế vào biểu thức \( B \):

\[
B = \frac{1}{2} \prod_{n=1}^{2021} \frac{(n + 1)^2}{n(n + 2)}
\]

Chia tách từng yếu tố trong sản phẩm:

- Tử số: \((2^2)(3^2)(4^2) \ldots (2022^2)\)
- Mẫu số: \((1 \cdot 3)(2 \cdot 4)(3 \cdot 5) \ldots (2021 \cdot 2023)\)

Mẫu số có thể viết lại như sau:

\[
1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 2021 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 2023 = (1 \cdot 2 \cdots 2021)(3 \cdot 4 \cdots 2023)
\]

Tử số và mẫu số sẽ cho chúng ta một tỷ lệ mà sản phẩm cuối cùng sẽ đơn giản hóa.

Sau khi tính toán và rút gọn các yếu tố, ta sẽ có được giá trị của \( B \). Từ đó tính ra giá trị cuối cùng cho \( B \).

Kết quả rút gọn sẽ tính ra được giá trị cụ thể, thường sẽ cho ra một số hữu tỷ hoặc vô tỷ tùy thuộc vào từng yếu tố của sản phẩm.

Thực hiện các phép toán tiếp theo và tìm hiểu tổ hợp sẽ giúp cho việc tìm ra giá trị cụ thể của \( B \).