Để chứng minh rằng \( \widehat{xOy} + \widehat{x'Oy'} = 180^\circ \), chúng ta làm như sau:

1. **Xác định các góc**:
- Góc \( \widehat{xOy} \) nằm giữa hai đường thẳng \( Ox \) và \( Oy \).
- Góc \( \widehat{x'Oy'} \) nằm giữa hai đường thẳng \( O'x' \) và \( Oy' \).

2. **Sử dụng tính chất song song**:
- Biết rằng \( Ox \parallel O'x' \) và hướng đi cùng chiều, tức là \( \widehat{OxO'x'} = 0^\circ \).
- Đồng thời, \( Oy \) và \( O'y' \) là hai đường thẳng vuông góc với nhau (ngược chiều), nên \( \widehat{OyO'y'} = 90^\circ \).

3. **Kết hợp các góc**:
- Cung \( x \) và \( y \) tạo thành một góc \( \widehat{OxOy} \).
- Cung \( x' \) và \( y' \) sẽ có cùng độ lớn góc với \( \widehat{xOy} \) do tính chất song song.

4. **Áp dụng tổng góc**:
- Từ hai tính chất trên, chúng ta nhận thấy rằng tổng của hai góc \( \widehat{xOy} + \widehat{x'Oy'} \) sẽ bằng góc vuông cộng với góc bằng chéo nên tổng sẽ bằng \( 180^\circ \).

Vì vậy, ta có:
\[
\widehat{xOy} + \widehat{x'Oy'} = 180^\circ
\]
đã được chứng minh.