Cho hệ phương trình

Để giải hệ phương trình đã cho, ta có:

\[
\begin{cases}
2mx - 5y = -2 \quad (1)\\
5x - 2my = 3 - 2m \quad (2)
\end{cases}
\]

**a. Tìm m để HPT vô nghiệm.**

Hệ phương trình vô nghiệm khi hai phương trình song song. Điều này xảy ra khi tỉ lệ của các hệ số không bằng tỉ lệ tự do.

Tức là:

\[
\frac{2m}{5} \neq \frac{-5}{-2m}
\]

Giải bất phương trình này:

\[
2m \cdot 2m \neq 5 \cdot -5 \\
4m^2 \neq -25 \\
m^2 \neq -\frac{25}{4}
\]

Do m là số thực, bất phương trình này luôn đúng. Vậy m có thể nhận mọi giá trị, nhưng để vô nghiệm, ta cần tìm tỉ lệ khác nhau.

**b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.**

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi tỉ lệ của các hệ số bằng tỉ lệ tự do:

\[
\frac{2m}{5} = \frac{-5}{-2m}
\]

Giải phương trình này:

\[
2m \cdot 2m = 5 \cdot 5 \\
4m^2 = 25 \\
m^2 = \frac{25}{4} \\
m = \frac{5}{2} \text{ hoặc } m = -\frac{5}{2}
\]

Vậy m có giá trị là \(\frac{5}{2}\) hoặc \(-\frac{5}{2}\) để hệ có nghiệm duy nhất.

**c. Tìm nghiệm của hệ phương trình khi có nghiệm duy nhất.**

Giả sử m = \(\frac{5}{2}\):

Thay vào (1):

\[
2 \cdot \frac{5}{2}x - 5y = -2 \\
5x - 5y = -2 \\
x - y = -\frac{2}{5} \quad (3)
\]

Thay vào (2):

\[
5x - 2 \cdot \frac{5}{2}y = 3 - 2 \cdot \frac{5}{2} \\
5x - 5y = 3 - 5 \\
5x - 5y = -2
\]

Phương trình (3) và **(5)** trùng nhau. Vậy đây là phương trình duy nhất.

Chọn \(y\) làm biến tự do:

Giả sử \(y = t\):
\[
x = t - \frac{2}{5}
\]

Nghiệm tổng quát là:
\[
(x, y) = (t - \frac{2}{5}, t) \text{ với } t \text{ là số thực tùy ý.}
\]

Nếu m = \(-\frac{5}{2}\) cũng tương tự, ta có thể tìm nghiệm nào khác. Nhưng cách làm tương tự cho cả hai giá trị này.