Để giải bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần:

### a) Tính góc B, C và độ cao AH

- Trong tam giác vuông ABC:

1. Tính cạnh BC:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. Tính góc B:
\[
\cos B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = 0.8 \implies B = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ
\]

3. Tính góc C:
\[
\cos C = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = 0.6 \implies C = \cos^{-1}(0.6) \approx 53.13^\circ
\]

4. Độ cao AH từ A đến BC:
\[
AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{6 \times 8}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

### b) CMR: \( AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C = BC \)

- Tính \( AB \cdot \cos B \):
\[
AB \cdot \cos B = 6 \cdot 0.8 = 4.8
\]

- Tính \( AC \cdot \cos C \):
\[
AC \cdot \cos C = 8 \cdot 0.6 = 4.8
\]

- Tổng:
\[
AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C = 4.8 + 4.8 = 9.6 \text{ không bằng } BC
\]
(CMR không đúng)

### c) Gọi E, F là chân đường cao hạ từ H xuống AB, AC

1. Đường cao BE, CF từ H xuống:

- BE = CMR: \( BE + CF + CA + 2 \cdot HB \cdot HC = BC^2 \)

### d) Tính giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF

- Diện tích của tứ giác AEHF được tính bằng:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH
\]

- Tạm tính:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4.8 = 14.4 \text{ cm}^2
\]

### Kết luận

- Các giá trị cần tìm đang được cung cấp, kiểm tra và tính toán theo các phần của đề bài.