Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học tam giác.

### a) Tính khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC:

Đầu tiên, chúng ta có thể tính được chiều cao từ B xuống cạnh AC. Đặt \( h_B \) là khoảng cách từ B đến đường thẳng AC.

Chúng ta có thể sử dụng công thức:

\[
h_B = BC \cdot \sin(\angle ABC)
\]

Từ đề bài, các thông tin đã cho là:
- \( BC = 20 \, cm \)
- \( \angle ABC = 20^\circ \)

Tính \( h_B \):

\[
h_B = 20 \cdot \sin(20^\circ) \approx 20 \cdot 0.3420 \approx 6.84 \, cm
\]

Vậy khoảng cách từ B đến đường thẳng AC là khoảng 6.84 cm.

### b) Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC:

Ta có các góc trong tam giác:
- \( \angle ABC = 20^\circ \)
- \( \angle ACB = 30^\circ \)
- Do đó, \( \angle BAC = 180^\circ - (20^\circ + 30^\circ) = 130^\circ \)

Giờ chúng ta sẽ tính các cạnh. Gọi các cạnh:
- \( a = BC = 20 \, cm \) (đối diện góc A)
- \( b = AC \) (đối diện góc B)
- \( c = AB \) (đối diện góc C)

Sử dụng định lý sin:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]

Chúng ta có:

\[
\frac{20}{\sin(130^\circ)} = \frac{b}{\sin(20^\circ)} = \frac{c}{\sin(30^\circ)}
\]

Tính \( \sin(130^\circ) \):

\[
\sin(130^\circ) = \sin(180^\circ - 50^\circ) = \sin(50^\circ) \approx 0.7660
\]

Thay vào biểu thức:

\[
\frac{20}{0.7660} \approx 26.1
\]

Từ đó tìm các cạnh:

1. Tính \( b \):

\[
\frac{b}{\sin(20^\circ)} = 26.1
\]
\[
b = 26.1 \cdot \sin(20^\circ) \approx 26.1 \cdot 0.3420 \approx 8.93 \, cm
\]

2. Tính \( c \):

\[
\frac{c}{\sin(30^\circ)} = 26.1
\]
\[
c = 26.1 \cdot \sin(30^\circ) \approx 26.1 \cdot 0.5 \approx 13.05 \, cm
\]

### Kết luận các góc và cạnh tam giác ABC:

- \( a = 20 \, cm \)
- \( b \approx 8.93 \, cm \)
- \( c \approx 13.05 \, cm \)
- \( \angle ABC = 20^\circ \)
- \( \angle ACB = 30^\circ \)
- \( \angle BAC = 130^\circ \)

### c) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC:

Sử dụng lại công thức đã sử dụng trong phần a:

\[
h_A = BC \cdot \sin(\angle A)
\]

Với:

\[
h_A = 20 \cdot \sin(130^\circ) \approx 20 \cdot 0.7660 \approx 15.32 \, cm
\]

### Kết luận:

- Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC là khoảng 15.32 cm.