Để rút gọn phân thức \(\frac{x^2 + 2x}{x^2 - x - 6}\), trước tiên, chúng ta cần phân tích cả tử số và mẫu số.

**Bước 1: Phân tích tử số \(x^2 + 2x\)**

Tử số có thể được viết lại như sau:
\[
x^2 + 2x = x(x + 2)
\]

**Bước 2: Phân tích mẫu số \(x^2 - x - 6\)**

Chúng ta cần tìm hai số mà tích của chúng bằng \(-6\) và tổng bằng \(-1\). Hai số đó là \(-3\) và \(2\). Do đó, mẫu số có thể được phân tích như sau:
\[
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
\]

**Bước 3: Thay thế vào phân thức**

Giờ chúng ta thay kết quả phân tích vào phân thức ban đầu:
\[
\frac{x^2 + 2x}{x^2 - x - 6} = \frac{x(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)}
\]

**Bước 4: Rút gọn phân thức**

Bây giờ, ta nhận thấy rằng \(x + 2\) tồn tại trong cả tử và mẫu, nên có thể rút gọn:
\[
\frac{x(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{x}{x - 3}, \quad x \neq -2
\]

**Kết quả cuối cùng:**
Phân thức rút gọn là:
\[
\frac{x}{x - 3}, \quad x \neq -2
\]

(Điều kiện \(x \neq -2\) là để đảm bảo mẫu số không bằng 0).