Để tìm các cặp số nguyên \(x\) và \(y\) thỏa mãn phương trình

\[
2x - 8 = 13 - 3y^2,
\]

ta có thể đơn giản hóa phương trình này trước tiên.

Chuyển tất cả về một phía:

\[
2x + 3y^2 - 21 = 0.
\]

Từ đó, ta có thể viết lại thành:

\[
2x = 21 - 3y^2.
\]

Chia cả hai bên cho 2:

\[
x = \frac{21 - 3y^2}{2}.
\]

Để \(x\) là số nguyên, biểu thức \(21 - 3y^2\) phải chia hết cho 2.

Cảm nhận về \(3y^2\):

- Nếu \(y\) là số chẵn, \(y^2\) là số chẵn \(\Rightarrow 3y^2\) cũng chẵn \(\Rightarrow 21 - 3y^2\) là số lẻ.
- Nếu \(y\) là số lẻ, \(y^2\) là số lẻ \(\Rightarrow 3y^2\) cũng lẻ \(\Rightarrow 21 - 3y^2\) là số chẵn.

Vậy \(y\) phải là số lẻ.

Ta thử một số giá trị cho \(y\):

1. \(y = 1\):
\[
x = \frac{21 - 3 \cdot 1^2}{2} = \frac{21 - 3}{2} = \frac{18}{2} = 9.
\]
=> Cặp \((x, y) = (9, 1)\).

2. \(y = 3\):
\[
x = \frac{21 - 3 \cdot 3^2}{2} = \frac{21 - 27}{2} = \frac{-6}{2} = -3.
\]
=> Cặp \((x, y) = (-3, 3)\).

3. \(y = 5\):
\[
x = \frac{21 - 3 \cdot 5^2}{2} = \frac{21 - 75}{2} = \frac{-54}{2} = -27.
\]
=> Cặp \((x, y) = (-27, 5)\).

Ta có thể ngừng lại ở đây hoặc tiếp tục thử các giá trị của \(y\) lớn hơn.

Tóm lại, một số nghiệm nguyên là:
- \((9, 1)\)
- \((-3, 3)\)
- \((-27, 5)\)

Chúng ta có thể thử với các giá trị âm của \(y\) (như \(-1\), \(-3\), v.v.) để tìm ra các nghiệm khác, nhưng trên đây là những nghiệm nguyên cơ bản với giá trị dương của \(y\).