Để tính \(\tan \frac{\alpha}{2}\), bạn có thể sử dụng công thức:

\[
\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}
\]

hoặc

\[
\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}
\]

Ở đây, chúng ta cần tính \(\sin \alpha\) từ \(\cos \alpha\). Biết rằng:

\[
\cos \alpha = \frac{4}{5}
\]

Ta có thể tính \(\sin \alpha\) bằng cách sử dụng định lý Pythagoras:

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

Từ đó:

\[
\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}
\]

Do đó:

\[
\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}
\]

Sử dụng công thức đầu tiên:

\[
\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{1}{3}
\]

Vậy kết quả là:

\[
\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}
\]