Trong tam giác ABC, với tỉ lệ các góc A : B : C = 1 : 3 : 5, ta có thể quy đổi các góc thành một tỉ lệ cụ thể hơn. Gọi \( A = x \), \( B = 3x \), và \( C = 5x \). Tổng của ba góc trong tam giác phải bằng 180 độ:

\[
A + B + C = x + 3x + 5x = 9x = 180
\]

Giải phương trình trên, ta có:

\[
x = 20
\]

Vậy:

\[
A = 20^\circ, \quad B = 60^\circ, \quad C = 100^\circ
\]

Từ định lý sine, độ dài các cạnh của tam giác tỉ lệ thuận với sin của các góc đối diện. Gọi các cạnh đối diện với góc A, B, C lần lượt là a, b, c. Ta có:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]

Tính giá trị sin cho từng góc:

\[
\sin A = \sin 20^\circ, \quad \sin B = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin C = \sin 100^\circ = \sin 80^\circ
\]

Theo đó:

\[
\frac{a}{\sin 20^\circ} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{c}{\sin 80^\circ}
\]

Từ đây, ta có thể so sánh độ dài các cạnh:

- Cạnh a đối diện với góc A (20°) sẽ ngắn nhất.
- Cạnh b đối diện với góc B (60°) sẽ dài hơn cạnh a.
- Cạnh c đối diện với góc C (100°) là dài nhất.

Tóm lại:

\[
a < b < c
\]

Vậy độ dài các cạnh của tam giác ABC được sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là: \( a < b < c \).