Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### 1. Tính A
Ta có:

\[
A = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} - \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}
\]

**Bước 1: Tính \(\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}\)**

Giả sử \(\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = a + b\sqrt{5}\).

Bình phương hai bên, ta có:

\[
9 + 4\sqrt{5} = a^2 + 5b^2 + 2ab\sqrt{5}
\]

So sánh từng thành phần:

1. \(a^2 + 5b^2 = 9\)
2. \(2ab = 4 \Rightarrow ab = 2\)

Từ phương trình thứ hai, ta có \(b = \frac{2}{a}\).

Thay \(b\) vào phương trình thứ nhất:

\[
a^2 + 5\left( \frac{2}{a} \right)^2 = 9
\]

\[
a^2 + \frac{20}{a^2} = 9
\]

Nhân hai vế với \(a^2\):

\[
a^4 - 9a^2 + 20 = 0
\]

Gọi \(t = a^2\), ta có phương trình bậc hai:

\[
t^2 - 9t + 20 = 0
\]

Tính Delta:

\[
\Delta = 81 - 80 = 1
\]

Giải phương trình:

\[
t = \frac{9 \pm 1}{2} \Rightarrow t = 5 \, \text{hoặc} \, t = 4
\]

Vậy \(a = \sqrt{5}\) hoặc \(a = 2\). Tương ứng, \(b = \frac{2}{\sqrt{5}} \text{ hoặc } 1\).

Ta chọn \(a = 2\) và \(b = 1\), do đó:

\[
\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = 2 + \sqrt{5}
\]

**Bước 2: Tính A**

Thay vào biểu thức của A:

\[
A = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} - (2 + \sqrt{5})
\]

Rút gọn:

\[
= \frac{1}{\sqrt{5} + 2} - 2 - \sqrt{5}
\]

Tính \(\frac{1}{\sqrt{5} + 2}\):

Nhân tử và mẫu với \(\sqrt{5} - 2\):

\[
\frac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \sqrt{5} - 2
\]

Do đó:

\[
A = (\sqrt{5} - 2) - (2 + \sqrt{5}) = -4
\]

### 2. Biểu thức B

Ta có:

\[
B = \frac{2(x + 4)}{x - 3\sqrt{x} - 4} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}} - \frac{8}{\sqrt{x} - 4}
\]

**a. Rút gọn B:**

Cần rút gọn từng phần. Hãy xem xét các mẫu số và thực hiện phép rút gọn.

**b. Tìm x để \(B\) là số nguyên:**

Sau khi rút gọn, kiểm tra các giá trị \(x\) trong miền áp dụng để tìm đáp án.

**Lưu ý:** Đối với bước rút gọn B, cần tính từ từng phân thức để tìm ra cách tối ưu hóa kết quả.