Giải phép toán sau x + y + 1/x + 1/y là lũy thừa của 2 tìm x, y là số hữu tỷ dương

Để giải bài toán \( x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) là lũy thừa của 2 với \( x, y \) là số hữu tỷ dương, ta bắt đầu bằng cách đơn giản hóa biểu thức.

Ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\[
x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = x + y + \frac{y + x}{xy} = x + y + \frac{x + y}{xy}
\]

Gọi \( s = x + y \) và \( p = xy \), ta có:

\[
x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = s + \frac{s}{p} = s\left(1 + \frac{1}{p}\right) = s\frac{p + 1}{p}
\]

Theo đó, ta cần điều kiện:

\[
s \frac{p + 1}{p} = 2^k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Với \( s \) và \( p \) là các biểu thức phụ thuộc vào các số hữu tỷ \( x \) và \( y \), để có thể tìm ra cách cụ thể cho \( x \) và \( y \), ta sẽ thử một số giá trị cụ thể cho \( x \) và \( y \).

**Thí dụ:**

1. Đặt \( x = 1 \) và \( y = 1 \):
\[
x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 = 2^2
\]
Đúng với lũy thừa của 2.

2. Đặt \( x = 2 \) và \( y = \frac{1}{2} \):
\[
x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2 = 2 + 1 + 2 = 5 \quad \text{(Không phải lũy thừa của 2)}
\]

3. Thử với \( x = 2 \) và \( y = 2 \):
\[
x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 + 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 4 + 1 = 5 \quad \text{(Không phải lũy thừa của 2)}
\]

Từ đó, ta nhận thấy rằng không phải mọi giá trị của \( x \) và \( y \) đều cho ra kết quả là lũy thừa của 2. Bạn có thể tiếp tục thử nghiệm với các cặp \( x, y \) khác hoặc xem xét phương pháp đại số hơn để tìm kiếm các cặp giá trị.

Tóm lại, các giá trị \( x = 1 \) và \( y = 1 \) là một cách thoả mãn điều kiện bài toán. Dựa vào kết quả này, các bạn có thể tìm ra nhiều cặp giá trị khác bằng cách theo dõi các tính chất hoặc quy luật của các biểu thức lũy thừa.