Để chứng minh rằng \( 2\vec{MN} = \vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD} \), ta bắt đầu từ các định nghĩa và thuộc tính của trung điểm.

Gọi:
- \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D} \) lần lượt là các vectơ vị trí của các đỉnh \( A, B, C, D \).
- Theo định nghĩa, \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \), nên ta có:
\[
\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}, \quad \vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}
\]

**Bước 1: Tính độ dài vectơ \( \vec{MN} \)**

Tính \( \vec{MN} \):
\[
\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \frac{\vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B}}{2}
\]

**Bước 2: Tính \( 2\vec{MN} \)**

Nhân cả hai vế với \( 2 \):
\[
2\vec{MN} = \vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B}
\]

**Bước 3: Tính các vecto khác**

- Tính vectơ \( \vec{AC} \):
\[
\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}
\]

- Tính vectơ \( \vec{BD} \):
\[
\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B}
\]

Sau đó, cộng hai vectơ này lại:
\[
\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{C} - \vec{A}) + (\vec{D} - \vec{B}) = \vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B}
\]

Như vậy từ \(\vec{MN}\) ta có:
\[
2\vec{MN} = \vec{AC} + \vec{BD}
\]

**Bước 4: Tính thêm \( \vec{BC} \) và \( \vec{AD} \)**

- Tính vectơ \( \vec{BC} \):
\[
\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}
\]

- Tính vectơ \( \vec{AD} \):
\[
\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A}
\]

Cộng hai vectơ này lại:
\[
\vec{BC} + \vec{AD} = (\vec{C} - \vec{B}) + (\vec{D} - \vec{A}) = \vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B}
\]

**Kết luận:**

Ta thấy rằng:
\[
2\vec{MN} = \vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}
\]
Nên đã chứng minh được đẳng thức yêu cầu.

Vậy có:
\[
\boxed{2\vec{MN} = \vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}}
\]