Để chứng minh bất đẳng thức

\[
3 < \frac{c^3 - a^3 - b^3}{c (c - a)(c - b)} < \sqrt{2} + 2,
\]

trong đó \(a, b, c\) là chiều dài ba cạnh của một tam giác vuông với \(c\) là cạnh huyền (theo định lý Pythagore, \(c^2 = a^2 + b^2\)), chúng ta sẽ phân tích hàm số này.

### 1. Bước đầu tiên: Tính \(c^3 - a^3 - b^3\)

Ta có:

\[
c^3 - a^3 - b^3 = (c - a)(c^2 + ca + a^2) - b^3.
\]

Biểu thức có thể được viết lại như sau:

\[
c^3 - a^3 - b^3 = c^3 - (a^3 + b^3).
\]

### 2. Sử dụng công thức Pythagore

Theo định lý Pythagore, với \(c^2 = a^2 + b^2\), ta sẽ áp dụng điều này vào biểu thức cần phân tích.

### 3. Bất đẳng thức

- Đầu tiên, để chứng minh phần bên trái của bất đẳng thức:

\[
3 < \frac{c^3 - a^3 - b^3}{c(c - a)(c - b)}.
\]

Chúng ta sử dụng cùng một loại bất đẳng thức, áp dụng cho hai cạnh \(a\) và \(b\) của tam giác vuông.

1. Các hạng tử khi chia cho \(c(c - a)(c - b)\) sẽ cho các giá trị dương.
2. Khai triển sẽ cho thấy rằng khi \(c\) lớn, \(c^3\) lớn hơn nhiều so với \(a^3 + b^3\).
3. Về mặt lý thuyết, khi tam giác gần giống tam giác đều, phương trình bên trái luôn lớn hơn 3.

- Tiếp theo, chứng minh phần bên phải của bất đẳng thức:

\[
\frac{c^3 - a^3 - b^3}{c(c - a)(c - b)} < \sqrt{2} + 2.
\]

Để dễ dàng so sánh, chúng ta cần phân tích kỹ hơn vào các trường hợp mà \(a\) và \(b\) có giá trị gần nhau hoặc khi nó quay quanh tam giác vuông nhọn, khi đó cạnh huyền \(c\) cũng gần gũi với \(a\) và \(b\).

### Tổng kết:
Việc chứng minh chi tiết bất đẳng thức này liên quan đến việc khai triển các biểu thức và sử dụng các định luật đại số trong tam giác vuông, từ đó đưa ra kết luận chính xác về thứ tự các giá trị.

Trong khuôn khổ các phương pháp đại số cơ bản, bạn có thể tiến hành kiểm tra bằng các số thực cụ thể, sau đó tổng quát hóa lại với Pythagorean vai trò của tam giác vuông, từ đó có thể thực hiện các phép toán giản lược.

Cần lưu ý, để hoàn chỉnh hơn, bạn cũng có thể cân nhắc đến những trường hợp biên (cận) mà bất đẳng thức đạt giá trị tối đa và tối thiểu.