Để giải bài toán này, ta gọi diện tích thửa ruộng mà lớp 5A chăm sóc là \( x \) m², và diện tích thửa ruộng mà lớp 5B chăm sóc là \( y \) m².

Theo đề bài, ta có 2 phương trình như sau:

1. Tổng diện tích của 2 thửa ruộng là 1560 m²:
\[
x + y = 1560
\]

2. Khi lấy \( \frac{1}{4} \) diện tích thửa ruộng của lớp 5A chuyển sang cho lớp 5B, diện tích chăm sóc của 2 lớp bằng nhau:
\[
x - \frac{1}{4}x = y + \frac{1}{4}x
\]

Biến đổi phương trình thứ hai:
\[
\frac{3}{4}x = y + \frac{1}{4}x
\]
\[
\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}x = y
\]
\[
\frac{2}{4}x = y
\]
\[
\frac{1}{2}x = y
\]

Bây giờ, ta thay giá trị của \( y \) vào phương trình đầu tiên:
\[
x + \frac{1}{2}x = 1560
\]
\[
\frac{3}{2}x = 1560
\]
\[
x = 1560 \times \frac{2}{3} = 1040
\]

Vậy diện tích của lớp 5A là 1040 m². Thay giá trị của \( x \) vào để tìm \( y \):
\[
y = \frac{1}{2}x = \frac{1}{2} \times 1040 = 520
\]

Do đó, diện tích của mỗi thửa ruộng:
- Diện tích thửa ruộng của lớp 5A: \( 1040 \) m²
- Diện tích thửa ruộng của lớp 5B: \( 520 \) m²

Vậy diện tích thửa ruộng của lớp 5A là 1040 m² và lớp 5B là 520 m².