Để tìm nghiệm nguyên của các phương trình đã cho, ta sẽ xử lý từng phương trình một.

**a. Phương trình** \(2xy - 8x - 3y + 9 = 0\)

Ta có thể viết lại phương trình như sau:
\[
2xy - 3y = 8x - 9
\]
\[
y(2x - 3) = 8x - 9
\]
Nếu \(2x - 3 \neq 0\), ta có thể giải ra \(y\):
\[
y = \frac{8x - 9}{2x - 3}
\]
Để \(y\) là một số nguyên, \(8x - 9\) phải chia hết cho \(2x - 3\). Do đó, ta cần tính \(8x - 9 \equiv 0 \mod (2x - 3)\).

Thay đổi \(x\) thành các giá trị nguyên và tính \(y\):

- Với \(x = 0\):
\[
y = \frac{8 \cdot 0 - 9}{2 \cdot 0 - 3} = \frac{-9}{-3} = 3
\]

- Với \(x = 1\):
\[
y = \frac{8 \cdot 1 - 9}{2 \cdot 1 - 3} = \frac{-1}{-1} = 1
\]

- Với \(x = 2\):
\[
y = \frac{8 \cdot 2 - 9}{2 \cdot 2 - 3} = \frac{16 - 9}{4 - 3} = 7
\]

- Với \(x = 3\):
\
y = \frac{8 \cdot 3 - 9}{2 \cdot 3 - 3} = \frac{24 - 9}{6 - 3} = \frac{15}{3} = 5
\]

- Với \(x = 5\):
\[
y = \frac{8 \cdot 5 - 9}{2 \cdot 5 - 3} = \frac{40 - 9}{10 - 3} = \frac{31}{7} \text{ (không phải nguyên)}
\]

Có thể thử nghiệm thêm hoặc kết thúc tìm kiếm ở đây vì các giá trị khác sẽ nghiêng về không có nhiều nghiệm cho \(y\) là nguyên.

**b. Phương trình** \(y^4 - 3x^2 = x^4 + 1\)

Chuyển đổi thành:
\[
y^4 = x^4 + 3x^2 + 1
\]
Hoặc:
\[
y^4 = (x^2 + 1)^2 + x^2
\]

Cách giải có vẻ phức tạp hơn và sẽ yêu cầu kiểm tra qua các giá trị nguyên. Tuy nhiên, ta có thể thử một số giá trị nhỏ cho \(x\):

- Với \(x=0\):
\[
y^4 = 1 \implies y = 1 \text{ hoặc } -1
\]

- Với \(x=1\):
\[
y^4 = 1 + 3 + 1 = 5 \text{ (không có nghiệm nguyên)}
\]

- Với \(x=-1\):
\[
y^4 = 1 + 3 + 1 = 5 \text{ (không có nghiệm nguyên)}
\]

Một vài giá trị khác cũng có thể được thử, nhưng các nghiệm nguyên khá hạn chế.

**c. Phương trình** \(x^2 + y^2 = (y^2 + 1)^2\)

Mở rộng vế phải:
\[
x^2 + y^2 = y^4 + 2y^2 + 1
\]
Sắp xếp lại:
\[
x^2 = y^4 + y^2 + 1
\]

Tương tự, ta sẽ kiểm tra một số giá trị \(y\):

- Với \(y = 0\):
\[
x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } -1
\]

- Với \(y = 1\):
\[
x^2 = 1 + 1 + 1 = 3 \text{ (không có nghiệm nguyên)}
\]

- Với \(y = 2\):
\[
x^2 = 16 + 4 + 1 = 21 \text{ (không có nghiệm nguyên)}
\]

Như vậy, nghiệm nguyên của ba phương trình trên chủ yếu là:
- Phương trình a: Tìm ra được những nghiệm cụ thể như (0, 3), (1, 1), (2, 7), hoặc (3, 5).
- Phương trình b và c: Chưa tìm thấy nghiệm nguyên khác ngoài nghiệm cơ bản cho phương trình c là (1, 0) và (-1, 0).

Nếu bạn có thêm yêu cầu hoặc cần làm rõ hơn, xin vui lòng cho tôi biết!