Để tính độ dài của cạnh \( BC \) và góc \( ACB \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là góc vuông, ta sử dụng những thông tin đã cho:

1. \( AH = \sqrt{3} \) cm (độ dài đường cao từ \( A \) đến cạnh \( BC \)).
2. \( BH = 1 \) cm.

### Bước 1: Tính độ dài cạnh \( BC \)

Áp dụng công thức tính độ dài đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
Với \( AH = \sqrt{3} \) và \( BH = 1 \), ta có:
\[
BC = BH + HC
\]
Trong đó, \( HC = BC - BH \).

Áp dụng công thức tính diện tích:
\[
S = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} BC \cdot AH
\]
Chúng ta biết rằng:
\[
S = \frac{1}{2} BC \cdot \sqrt{3}
\]

### Bước 2: Tính \( HC \)
Ta biết bên cạnh \( AH \) và \( BH \),
\[
AH^2 = BH \cdot HC \implies (\sqrt{3})^2 = 1 \cdot HC \implies 3 = HC
\]
Vậy:
\[
HC = 3 \text{ cm}
\]

### Bước 3: Tính \( BC \)
Bây giờ, ta có thể tính \( BC \):
\[
BC = BH + HC = 1 + 3 = 4 \text{ cm}
\]

### Bước 4: Tính góc \( ACB \)
Áp dụng định nghĩa đạo hàm cho góc trong tam giác vuông:

\[
\tan ACB = \frac{AH}{BH} = \frac{\sqrt{3}}{1}
\]
Vậy:
\[
ACB = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^\circ
\]

### Kết quả
Tóm lại:
- Độ dài \( HC = 3 \) cm
- Góc \( ACB = 60^\circ \)