Để tìm giá trị của \( a \) sao cho hệ phương trình sau vô nghiệm:

\[
\begin{cases}
x + ay = 1 \\
ax - 3ay = 2a + 3
\end{cases}
\]

Chúng ta biểu diễn hệ phương trình dưới dạng ma trận:

\[
\begin{pmatrix}
1 & a \\
a & -3a
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
2a + 3
\end{pmatrix}
\]

Hệ phương trình vô nghiệm khi định thức của ma trận hệ số bằng 0 và vecto tự do không nằm trên một mặt phẳng với vecto hệ số. Tính định thức:

\[
D = \begin{vmatrix}
1 & a \\
a & -3a
\end{vmatrix} = 1 \cdot (-3a) - a \cdot a = -3a - a^2 = -a^2 - 3a
\]

Để hệ vô nghiệm, điều kiện là:

\[
D = 0 \implies -a^2 - 3a = 0 \implies a(a + 3) = 0
\]

Giải phương trình trên, ta có:

\[
a = 0 \quad \text{hoặc} \quad a = -3
\]

Tiếp theo, kiểm tra xem với \( a = 0 \) và \( a = -3 \), hai vecto tự do có cùng phương với vecto hệ số hay không:

1. **Khi \( a = 0 \)**:

\[
\begin{cases}
x = 1 \\
0 = 3 \quad \text{(vô nghiệm)}
\end{cases}
\]

2. **Khi \( a = -3 \)**:

\[
\begin{cases}
x - 3y = 1 \\
-3x + 9y = -3 \implies x - 3y = 1 \quad \text{(vô nghiệm)}
\end{cases}
\]

Vậy các giá trị của \( a \) để hệ phương trình vô nghiệm là:

\[
\boxed{0 \text{ và } -3}
\]