Để chứng minh rằng \( A = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{1000} \) chia hết cho 120, chúng ta có thể bắt đầu bằng cách tìm tổng \( A \).

Tổng của một chuỗi hình học là:
\[
A = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{1000} = 3 \cdot (1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^{999})
\]
Tổng trong ngoặc là tổng của chuỗi hình học với số hạng đầu là 1 và công bội là 3, có \( 1000 \) số hạng (từ \( 3^0 \) đến \( 3^{999} \)):
\[
1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^{999} = \frac{3^{1000} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{1000} - 1}{2}
\]
Vậy ta có:
\[
A = 3 \cdot \frac{3^{1000} - 1}{2} = \frac{3^{1001} - 3}{2}
\]

Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 120. Để thực hiện điều này, ta có thể kiểm tra chia hết cho 8 và 15 (vì \( 120 = 8 \times 15 \)).

### Bước 1: Kiểm tra chia hết cho 8

Xét \( 3^{n} \) modulo 8:
- \( 3^1 \equiv 3 \)
- \( 3^2 \equiv 1 \)

Do đó, \( 3^{n} \) có chu kỳ 2 khi xét modulo 8:
- Nếu \( n \) lẻ, \( 3^n \equiv 3 \)
- Nếu \( n \) chẵn, \( 3^n \equiv 1 \)

Vì \( n = 1001 \) (là số lẻ), ta có:
\[
3^{1001} \equiv 3 \mod 8
\]
Do đó:
\[
3^{1001} - 3 \equiv 0 \mod 8
\]
Vậy \( \frac{3^{1001} - 3}{2} \equiv 0 \mod 8 \), tức là \( A \) chia hết cho 8.

### Bước 2: Kiểm tra chia hết cho 15

Xét \( 3^{n} \) modulo 15:
- \( 3^1 \equiv 3 \)
- \( 3^2 \equiv 9 \)
- \( 3^3 \equiv 12 \)
- \( 3^4 \equiv 0 \) (vì \( 3^4 = 81 \equiv 6 \))

Và từ \( n \geq 4 \), \( 3^n \equiv 0 \mod 15 \).
Do đó, với \( n = 1001 \):
\[
3^{1001} \equiv 0 \mod 15
\]
Mà \( 3 \equiv 3 \mod 15 \), vậy:
\[
3^{1001} - 3 \equiv -3 \mod 15
\]

Thể hiện như sau:
\[
3^{1001} - 3 \equiv 0 \mod 15
\]
Vậy \( \frac{3^{1001} - 3}{2} \equiv 0 \mod 15 \) là đúng, tức là \( A \) chia hết cho 15.

### Kết luận
Vì \( A \) chia hết cho 8 và 15, từ đó suy ra:
\[
A \text{ chia hết cho } 120.
\]

Vậy \( A = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{1000} \) chia hết cho 120.