Để tìm số nghiệm nguyên của phương trình \( x + xy + y = 9 \), chúng ta có thể biến đổi phương trình:

\[
x + y + xy = 9
\]

Tức là:

\[
xy + x + y + 1 = 10
\]

Điều này có thể viết lại dưới dạng:

\[
(x + 1)(y + 1) = 10
\]

Gọi \( a = x + 1 \) và \( b = y + 1 \), ta có:

\[
ab = 10
\]

Chúng ta cần tìm các cặp nhân của 10. Các cặp \((a, b)\) thỏa mãn \(ab = 10\) là:

- \( (1, 10) \)
- \( (2, 5) \)
- \( (5, 2) \)
- \( (10, 1) \)
- \( (-1, -10) \)
- \( (-2, -5) \)
- \( (-5, -2) \)
- \( (-10, -1) \)

Mỗi cặp \((a, b)\) sẽ tương ứng với một cặp \((x, y)\) như sau:

\[
x = a - 1, \quad y = b - 1
\]

Từ các cặp \( (a, b) \):

1. \( (1, 10) \) → \( (0, 9) \)
2. \( (10, 1) \) → \( (9, 0) \)
3. \( (2, 5) \) → \( (1, 4) \)
4. \( (5, 2) \) → \( (4, 1) \)
5. \( (-1, -10) \) → \( (-2, -11) \)
6. \( (-10, -1) \) → \( (-11, -2) \)
7. \( (-2, -5) \) → \( (-3, -6) \)
8. \( (-5, -2) \) → \( (-6, -3) \)

Tổng cộng chúng ta có 8 cặp nghiệm nguyên.

Vậy phương trình \( x + xy + y = 9 \) có **8 nghiệm nguyên**.