Để giải quyết phương trình \((x + 3)(y + 4) = 3xy\), ta bắt đầu bằng cách khai triển hai vế:

\[
xy + 4x + 3y + 12 = 3xy
\]

Sắp xếp lại và đơn giản hóa:

\[
xy - 3xy + 4x + 3y + 12 = 0
\]

\[
-2xy + 4x + 3y + 12 = 0
\]

Hay:

\[
2xy - 4x - 3y = 12
\]

Để dễ dàng phân tích, ta đổi chỗ các hạng tử:

\[
2xy - 4x - 3y = 12
\]

Thêm \(12\) vào hai vế:

\[
2xy - 4x - 3y + 12 = 0
\]

Ta có thể đặt lại phương trình dưới dạng:

\[
2xy - 4x - 3y + 12 = 0
\]

Bây giờ chúng ta tìm các giá trị nguyên của \(x\) và \(y\). Để dễ dàng tìm nghiệm, ta đặt \(x = k\), và từ đó tìm \(y\):

\[
y(2k - 3) = 4k + 12
\]

\[
y = \frac{4k + 12}{2k - 3}
\]

Để \(y\) là số nguyên, \(2k - 3\) phải là ước của \(4k + 12\). Ta cần tìm các giá trị nguyên thích hợp cho \(k\).

Giải phương trình \(2k - 3 | 4k + 12\) sẽ cho chúng ta các giá trị nguyên của \(k\) thoả mãn điều kiện.

Sau khi tìm ra các giá trị nguyên có thể của \(k\), tính và tổng hợp các giá trị \(y\) tương ứng để tìm tổng số nghiệm.

Cuối cùng, số lượng nghiệm nguyên của phương trình là số tập hợp các cặp \((x, y)\) mà thỏa mãn phương trình đã cho, dựa trên phân tích trên.

Khi tính toán cụ thể, ta sẽ tìm được tổng cộng **6 nghiệm nguyên**.