Tính cot 2x

Để tính \( \cot(2x) \) khi biết \( \sin x = -\frac{1}{5} \) và \( \frac{\pi}{2} < x < \pi \), chúng ta sẽ sử dụng công thức:

\[
\cot(2x) = \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}
\]

Trước tiên, ta cần tìm \( \cos x \) từ \( \sin x \):

\[
\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}
\]

Vì \( x \) nằm trong khoảng \( \frac{\pi}{2} < x < \pi \), nên \( \cos x < 0 \):

\[
\cos x = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{\sqrt{24}}{5} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}
\]

Bây giờ chúng ta tính \( \sin(2x) \) và \( \cos(2x) \):

\[
\sin(2x) = 2 \sin x \cos x = 2 \left(-\frac{1}{5}\right) \left(-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) = \frac{4\sqrt{6}}{25}
\]

\[
\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \left(-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{24}{25} - \frac{1}{25} = \frac{23}{25}
\]

Cuối cùng, ta tính \( \cot(2x) \):

\[
\cot(2x) = \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} = \frac{\frac{23}{25}}{\frac{4\sqrt{6}}{25}} = \frac{23}{4\sqrt{6}}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\cot(2x) = \frac{23}{4\sqrt{6}}
\]