Để tìm các số nguyên tố \( a, b \) có một chữ số thỏa mãn điều kiện để \( x = \frac{14a}{156} \) có dạng số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn, chúng ta cần phân tích như sau:

### a) Số thập phân hữu hạn

Để \( x \) là số thập phân hữu hạn, mẫu số của phân số sau khi rút gọn phải chỉ chứa các thừa số là 2 và 5.

1. Phân tích mẫu số:
\[
156 = 2^2 \times 3 \times 13
\]

2. Biểu thức \( \frac{14a}{156} \) có thể viết lại:
\[
\frac{14a}{156} = \frac{14a}{2^2 \times 3 \times 13}
\]

3. Để mẫu số không còn thừa số 3 và 13, \( a \) cần có chứa các yếu tố bù. Gọi \( k = \frac{14a}{2^2} \); tức là \( a \) phải chứa yếu tố 3 và 13 để loại bỏ chúng. Vậy \( a \) phải là số nguyên tố và chia hết cho 3 và 13. Tuy nhiên, số nguyên tố có một chữ số không có 3 và 13.

4. Vậy không có giá trị nào của \( a \) và \( b \) mà làm cho \( x \) trở thành số thập phân hữu hạn.

### b) Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Để \( x \) là số thập phân vô hạn tuần hoàn, mẫu số sau khi rút gọn phải chứa các số nguyên tố khác ngoài 2 và 5.

1. Chúng ta đã có mẫu số \( 156 = 2^2 \times 3 \times 13 \).

2. Để \( \frac{14a}{156} \) là số thập phân vô hạn tuần hoàn, điều kiện cần thiết là mẫu số sau rút gọn vẫn còn chứa các thừa số khác 2 và 5, nghĩa là \( a \) không được loại bỏ tất cả thừa số của 3 và 13.

### Kết luận:

- **Số thập phân hữu hạn**: Không có giá trị của \( a \) và \( b \) thỏa mãn.

- **Số thập phân vô hạn tuần hoàn**: Các số nguyên tố có một chữ số là \( 2, 3, 5, 7 \). Trong đó, các số nguyên tố \( 3 \) và \( 7 \) sẽ thỏa mãn điều kiện này.

Vậy các số nguyên tố kết hợp là \( (3, x) \) hoặc \( (7, x) \), \( x \) nằm trong tập các số nguyên tố với một chữ số.