Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt xử lý hai phần a) và b).

### a) Tính diện tích quạt tròn BOC

**Diện tích quạt tròn BOC** được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi R^2
\]

Trong đó:
- \( \alpha = \angle BOC \) có thể được tính từ \( \angle BAC \) với công thức:
\[ \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} \]

Vậy ta có:

\[
S = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{3} \pi R^2
\]

### b) Tính diện tích hình tròn tâm I tiếp xúc với OB, OC và tiếp xúc với đường tròn (O)

Hình tròn tâm I tiếp xúc với OB và OC sẽ là hình tròn nội tiếp tam giác BOC. Diện tích của hình tròn này được tính bằng công thức:

\[
r = \frac{S}{p}
\]

Trong đó:
- \( S \) là diện tích của tam giác BOC
- \( p \) là nửa chu vi của tam giác BOC.

1. **Tam giác BOC là tam giác đều** với độ dài cạnh bằng \( R \) (đồ thị khi góc BOC bằng 120°), nên:
- Các cạnh BO, OC, BC đều bằng \( R \).

2. **Diện tích của tam giác BOC**:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot OC \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(120^{\circ}) = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} R^2
\]

3. **Nửa chu vi**:
\[
p = \frac{BO + OC + BC}{2} = \frac{R + R + R\sqrt{3}}{2} = \frac{R(2 + \sqrt{3})}{2}
\]

4. **R** là bán kính của hình tròn tâm I:
\[
r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} R^2}{\frac{R(2 + \sqrt{3})}{2}} = \frac{\sqrt{3}R}{2(2 + \sqrt{3})}
\]

5. **Cuối cùng, diện tích hình tròn tâm I**:
\[
A = \pi r^2
\]

Kết hợp tất cả các phần, bạn có thể hoàn thành việc tính diện tích quạt tròn BOC và diện tích hình tròn tiếp xúc.