Để giải bài toán này, ta sử dụng thông tin đã cho.

Gọi thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là \( x \) giờ. Khi đó, vòi thứ nhất chảy đầy bể trong \( x - 2 \) giờ.

Tốc độ chảy của vòi thứ nhất là \( \frac{1}{x - 2} \) bể/giờ và của vòi thứ hai là \( \frac{1}{x} \) bể/giờ.

Khi hai vòi cùng chảy, tổng tốc độ chảy là:

\[
\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x}
\]

Thời gian để đầy bể là \( 2 \) giờ \( 55 \) phút, tương đương với \( \frac{2}{60} + \frac{55}{3600} = \frac{175}{60} = \frac{35}{12} \) giờ.

Vì vậy, ta có phương trình:

\[
\left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x}\right) \times \frac{35}{12} = 1
\]

Giải phương trình trên:

1. Nhân cả hai vế với \( 12x(x - 2) \):

\[
12x \cdot 35 + 12(x - 2) \cdot 35 = 12x(x - 2)
\]

2. Rút gọn:

\[
420x + 420(x - 2) = 12x^2 - 24x
\]
\[
420x + 420x - 840 = 12x^2 - 24x
\]
\[
840x + 840 = 12x^2 - 24x
\]
\[
12x^2 - 864x - 840 = 0
\]

3. Chia cả phương trình cho 12:

\[
x^2 - 72x - 70 = 0
\]

4. Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{72 \pm \sqrt{72^2 + 4 \cdot 70}}{2}
\]
\[
x = \frac{72 \pm \sqrt{5184 + 280}}{2} = \frac{72 \pm \sqrt{5464}}{2}
\]
\[
x = \frac{72 \pm 74}{2}
\]

Nghiệm dương là:

\[
x = \frac{146}{2} = 73
\]

Gọi thời gian vòi thứ hai là 73 giờ, vậy vòi thứ nhất là \( 73 - 2 = 71 \) giờ.

**Kết quả:**
- Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là 73 giờ.
- Thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là 71 giờ.