Dưới đây là phân tích đa thức thành nhân tử cho các đa thức đã cho:

### a. \(x^8 + x^7 + 1\)

Để phân tích đa thức này, ta có thể thử tìm cách nhóm hoặc dùng các tính chất của số phức, nhưng đối với đa thức này, một cách đơn giản hơn để kiểm tra xem nó có thể phân tích được hay không là thử giá trị cụ thể hoặc kiểm tra nghiệm.

Rõ ràng khi thử \(x = 1\):

\[
1^8 + 1^7 + 1 = 3 \neq 0
\]

Rồi thử \(x = -1\):

\[
(-1)^8 + (-1)^7 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \neq 0
\]

Chúng ta có thể thấy rằng đa thức này không thể phân tích đơn giản. Tuy nhiên, xét theo lý thuyết, đa thức này không có nghiệm thực và không thể phân tích thành nhân tử với hệ số thực.

### b. \(x^5 + x + 1\)

Để phân tích đa thức này, ta có thể kiểm tra với các giá trị nghiệm:

Khi thử \(x = 0\):

\[
0^5 + 0 + 1 = 1 \neq 0
\]

Khi thử \(x = 1\):

\[
1^5 + 1 + 1 = 3 \neq 0
\]

Khi thử \(x = -1\):

\[
(-1)^5 + (-1) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1 \neq 0
\]

Vì không có nghiệm thực đơn giản, ta có thể dùng phương pháp khác như định lý Ruffini hay kiểm tra nghiệm phức mà không đi sâu hơn nữa, có vẻ như đa thức này không thể phân tích thành nhân tử với hệ số thực.

### c. \(x^3 + x^2 + 4\)

Ta cũng thử kiểm tra các giá trị nghiệm:

Khi thử \(x = 0\):

\[
0^3 + 0^2 + 4 = 4 \neq 0
\]

Khi thử \(x = 1\):

\[
1^3 + 1^2 + 4 = 6 \neq 0
\]

Khi thử \(x = -1\):

\[
(-1)^3 + (-1)^2 + 4 = -1 + 1 + 4 = 4 \neq 0
\]

Hệ số của đa thức luôn dương cho mọi giá trị x. Điều này có nghĩa rằng đa thức này là không âm cho tất cả giá trị của x, do đó không có nghiệm thực, nên nó không thể phân tích thành nhân tử với hệ số thực.

### d. \(x^3 - 2x - 4\)

Chúng ta có thể thử tìm nghiệm cho đa thức này:

Khi thử \(x = 2\):

\[
2^3 - 2 \cdot 2 - 4 = 8 - 4 - 4 = 0
\]

Vậy \(x = 2\) là một nghiệm. Sử dụng định lý Ruffini để phân tích:

Ta phân chia \(x^3 - 2x - 4\) cho \((x - 2)\):

\[
\begin{array}{r|rrrr}
2 & 1 & 0 & -2 & -4 \\
& & 2 & 4 & 4 \\
\hline
& 1 & 2 & 2 & 0 \\
\end{array}
\]

Kết quả được một đa thức bậc 2:

\[
x^3 - 2x - 4 = (x - 2)(x^2 + 2x + 2)
\]

Để kiểm tra \(x^2 + 2x + 2\), ta sử dụng công thức nghiệm bậc hai:

\[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4
\]

Vì \(D < 0\), nên \(x^2 + 2x + 2\) không có nghiệm thực.

Tóm lại:

\[
d. \, x^3 - 2x - 4 = (x - 2)(x^2 + 2x + 2)
\]

### Kết luận:
- \(a\), \(b\), \(c\) không thể phân tích thành nhân tử với số thực.
- \(d\) được phân tích thành \( (x - 2)(x^2 + 2x + 2) \).