Để tính giá trị của \( k \), ta sẽ sử dụng một số đồng nhất thức về hàm lượng giác.

Bắt đầu từ phương trình:
\[
\sin 5x - 2\sin x(\cos 4x + \cos 2x) = k \sin x
\]

Ta biết rằng:
\[
\sin 5x = 16\sin^5 x - 20\sin^3 x + 5\sin x
\]

Bây giờ ta cũng có công thức:
\[
\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
\]
Áp dụng cho \( A = 4x \) và \( B = 2x \):
\[
\cos 4x + \cos 2x = 2 \cos(3x) \cos(x)
\]

Thay vào:
\[
\sin 5x - 2\sin x(2\cos(3x) \cos(x)) = k \sin x
\]

Rút gọn biểu thức này:
\[
\sin 5x - 4\sin x \cos(3x) \cos(x) = k \sin x
\]

Xem xét giới hạn khi \( x \) gần bằng 0. Ta sẽ sử dụng các mở rộng Taylor cho các hàm lượng giác. Khi đó, \(\sin x \approx x\) và \(\cos x \approx 1\).

Sau khi tính toán và so sánh các hệ số, ta có thể tìm ra rằng:
\[
k = 5
\]

Vậy kết quả là:
\[
k = 5
\]