Để giải bài toán này, ta thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, E thẳng hàng.

1. **Đường tròn tâm O**: Từ giả thiết, điểm O là tâm của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.
2. **Điểm E trên cung nhỏ BC**: Vì E nằm trên cung nhỏ BC và thỏa mãn \( BE = EC \), nên tam giác BCE là tam giác cân.
3. **Góc tạo bởi đường kính**: Xét góc \( \angle BAE \) và \( \angle CAE \). Do \( AB = AC \), và góc ở tâm của đường tròn là góc hai tiếp tuyến nên:
\[
\angle BAE = \angle CAE
\]
4. **Tam giác EAO**: Vì các đoạn thẳng AE, BE, CE là cùng bán kính (từ điểm O tới các điểm), ta có:
\[
OA = OE
\]
Từ đó suy ra \( \triangle AOE \) là tam giác cân tại A.
5. Do đó, khi cắt qua \( \angle BAE = \angle CAE \), ta có:
\[
A, O, E \text{ thẳng hàng.}
\]

### b) Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Chứng minh rằng \( AH < AB < AE \).

1. **Chân đường cao H**: H là chân đường cao từ A xuống BC. Do đó, \( AH \) là khoảng cách từ A đến BC, tức là một đoạn thẳng vuông góc với BC.
2. **So sánh AH với AB**:
- Bởi vì H là chân đường cao, nên nó sẽ nằm trên đoạn thẳng BC và có khoảng cách nhỏ hơn mọi điểm trên đoạn thẳng này. Do đó, \( AH < AB \).
3. **So sánh AB với AE**:
- Từ tính chất của đường tròn và khoảng cách từ A tới E (vì E nằm trên đường tròn), ta có:
\[
AB < AE
\]
(Bởi vì AB là bán kính không lớn hơn AE khi E nằm trên vòng tròn).

Kết luận:
\[
AH < AB < AE
\]

Vậy ta đã chứng minh xong các phần của bài toán.