Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. C là điểm trên nửa đường tròn, khoảng cách từ C đến AB là h, tính bán kính từ đường tròn nội tiếp tam giác ABC theo r và h

Để tính bán kính \( r \) của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \), đầu tiên ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho:

- Đường kính \( AB = 2R \) nghĩa là bán kính của nửa đường tròn là \( R \).
- Khoảng cách từ điểm \( C \) đến đường thẳng \( AB \), được gọi là chiều cao \( h \).

Tam giác \( ABC \) có cạnh \( AB \) là một cạnh đáy của tam giác và chiều cao từ điểm \( C \) xuống \( AB \) là \( h \).

Để tính bán kính \( r \) của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \), ta có công thức:

\[
r = \frac{S}{p}
\]

trong đó:
- \( S \) là diện tích của tam giác \( ABC \).
- \( p \) là nửa chu vi của tam giác \( ABC \), được tính bằng công thức:

\[
p = \frac{AB + AC + BC}{2}
\]

Diện tích \( S \) của tam giác \( ABC \) có thể được tính bằng chiều cao \( h \):

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = Rh
\]

Do đó, diện tích \( S = Rh \).

Bây giờ ta cần tính \( p \). Đầu tiên, chúng ta có độ dài của cạnh \( AB = 2R \).

Các cạnh \( AC \) và \( BC \) có thể được tính bằng cách sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông, khi \( AC \) và \( BC \) có chiều cao là \( h \). Khi đó, theo định lý Pytago:

\[
AC^2 = R^2 - h^2 \quad \text{và} \quad BC^2 = R^2 - h^2
\]

Vì \( AC \) và \( BC \) là hai cạnh bên từ điểm \( C \) xuống điểm \( A \) và \( B \), cả hai đều có độ dài \( \sqrt{R^2 - h^2} \).

Do đó, ta tính được:

\[
p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{2R + \sqrt{R^2 - h^2} + \sqrt{R^2 - h^2}}{2} = \frac{2R + 2\sqrt{R^2 - h^2}}{2} = R + \sqrt{R^2 - h^2}
\]

Cuối cùng, chúng ta có thể thay các giá trị vào công thức tính \( r \):

\[
r = \frac{S}{p} = \frac{Rh}{R + \sqrt{R^2 - h^2}}
\]

Như vậy, bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \) là:

\[
r = \frac{Rh}{R + \sqrt{R^2 - h^2}}
\]