Chứng minh bất đẳng thức bằng cách áp dụng bất đẳng thức cô si

Để chứng minh bất đẳng thức \(\frac{a^2 + b^2}{a} \geq \frac{(a + b)^2}{2}\) (với \(a, b \in \mathbb{R}\)), ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai dãy số không âm \( (x_1, x_2) \) và \( (y_1, y_2) \) phát biểu rằng:
\[
(x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2)^2
\]

Chúng ta sẽ chọn \( x_1 = a, x_2 = b \) và \( y_1 = \frac{1}{a}, y_2 = \frac{1}{b} \). Khi đó, ta có:
\[
(a^2 + b^2)\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right) \geq \left(a\cdot\frac{1}{a} + b\cdot\frac{1}{b}\right)^2 = (1 + 1)^2 = 4
\]

Từ đó, ta viết lại bất đẳng thức như sau:
\[
(a^2 + b^2)\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right) = (a^2 + b^2)\left(\frac{b^2 + a^2}{a^2b^2}\right) = \frac{(a^2 + b^2)^2}{a^2b^2}
\]

Do đó, từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
\[
\frac{(a^2 + b^2)^2}{a^2b^2} \geq 4
\]
Suy ra:
\[
(a^2 + b^2)^2 \geq 4a^2b^2
\]

Khi đó, ta sẽ dùng nó để chứng minh bất đẳng thức ban đầu:
Biến đổi:
\[
\frac{a^2 + b^2}{a} \geq \frac{(a + b)^2}{2}
\]

Ta sẽ nhân cả hai vế với \(2a\) (với điều kiện \(a > 0\)):
\[
2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2
\]

Mở rộng và biến đổi vế phải:
\[
2(a^2 + b^2) \geq a^2 + 2ab + b^2 \implies a^2 + b^2 \geq 2ab
\]

Bất đẳng thức \(a^2 + b^2 \geq 2ab\) là đúng theo định lý bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc bất đẳng thức trung bình cộng - bất đẳng thức trung bình nhân.

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{a^2 + b^2}{a} \geq \frac{(a + b)^2}{2}
\]

Do đó, bất đẳng thức đã được chứng minh.